Sistema de ecuaciones compatible indeterminado

En esta entrada vamos a exponer el siguiente ejemplo, ¿Cuánto tiene que valer para que el sistema de ecuaciones sea compatible indeterminado?

Es un sistema homogéneo, por lo tanto seguro que tiene al menos una solución, . Por lo tanto, el sistema es compatible y por el teorema de Rouche, entonces, el rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada. Para ser compatible indeterminado hará falta que el rango de las matrices sea inferior a 2.


a) Por Gauss, multiplicando la primera fila por (-1/5) y sumando la segunda,

 

 

Si 2 + a = 0, es decir si , a= - 2 el rango de la matriz es 1, y como el número de incógnitas es 2, el sistema es compatible indeterminado.
Si a es diferente de 2 , el rango de la matriz es 2, y cómo coincide con el número de incógnitas, el sistema es compatible determinado.




b) Por determinantes,

 

Igualamos a 0. Si el determinante es nulo, el rango de la matriz es igual a 1. Por lo tanto,

10 + 5a = 0 ; a = - 2

Así para el sistema es compatible indeterminado.