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jueves, 11 de abril de 2013

Problema de estandarización de una variable



En esta entrada vamos a exponer un problema que dice así, una facultad recibe solicitudes de ingreso para el siguiente curso. Los aspirantes se someten a pruebas selectivas puntuadas entre 0 y 1000. Se considera que la calificación obtenida por un estudiante elegido al azar entre los que hacen la prueba selectiva sigue una distribución normal de media 550 y desviación típica 100.

a) Si la facultad decide admitir el 25% de los aspirantes con calificaciones más altas de la distribución total, ¿cuál será la nota de corte?
b) Se ha de determinar el porcentaje de estudiantes que obtienen una puntuación entre 620 y 740.
c) Sabemos que en la convocatoria de este año, 350 estudiantes han obtenido una puntuación entre 400 y 450 puntos. Entonces, ¿cuántos aspirantes obtuvieron una puntuación entre 620 y 740?

Indicación: para resolver este apartado es conveniente que primero determines el número de estudiantes que se han presentado a la convocatoria.

a) Sea X la nota obtenida en la prueba selectiva por un estudiante elegido al azar entre los que hacen la prueba. Del enunciado tenemos que X se distribuye según una N(550,100). La nota de corte tiene que ser un valor x0 tal que 0,25=P(X > x0) pues la facultad decide admitir sólo el 25% de los estudiantes con calificación más alta. Al estandarizar, podemos formular equivalentemente la condición como 0,25 = P(Z > (x0-550)/100) = P(Z < (550-x0)/100), donde Z denota una distribución N(0,1) y en la última igualdad se ha hecho uso de la simetría de la normal estándar. Si consultamos la tabla de la N(0,1) tenemos que (550-x0)/100 ≈ -0,675 y por lo tanto x0 ≈ 550 + 0,675•100 = 617,5 puntos y la nota de corte es 618 puntos.

b) Para determinar el porcentaje de estudiantes que obtienen una puntuación entre 620 y 740 puntos necesitamos calcular P(620 < X < 740) = P((620-550)/100 < Z < (740-550)/100) = P(0,7 < Z < 1,9) donde nuevamente se ha aplicado estandarización. De la mesa de la N(0,1) vemos que P(Z ≤ 0,7) = 0,75804 y que P(Z ≤ 1,9) = 0,97128. Por lo tanto P(0,7 < Z < 1,9) = 0,97128 - 0,75804 = 0,21324 y el porcentaje pedido es del 21% de los estudiantes.

c) El número total de estudiantes N que se han presentado a la prueba se puede deducir del hecho que 350 aspirantes han obtenido una puntuación entre 400 y 450 puntos. Con similares argumentos a los del apartado anterior, se tiene que P(400 < X < 450) = P(-1,5 < Z < -1) = 0,15866 - 0,06681 = 0,09185. Tiene que ser 350/N ≈ 0,09185 y por lo tanto N ≈ 350/0,09185 = 3810,5607 ≈ 3811 personas. Cómo del apartado anterior sabemos que el 21% de los presentados obtienen una puntuación entre 620 y 740, podemos afirmar que en esta convocatoria han sido 3811∙0,21324 = 812,65764 ≈ 812 personas.

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