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jueves, 18 de abril de 2013

Parámetro que define un sistema ecuaciones como determinado o no



Dado el sistema, 



 
a) Para qué valores del parámetro el sistema es compatible determinado?

 Para ser un sistema compatible determinado el rango de la matriz de coeficientes tiene que coincidir con el rango de la matriz ampliada y coincidir con el número de incógnitas. Cómo que tenemos 3 incógnitas y tres ecuaciones, sólo hay que encontrar los valores del parámetro para los cuales el determinante de la matriz de coeficientes del sistema sea diferente de cero.

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes haciendo su determinante,




Si  a al cuadrado - 16 = 0, entonces a = 4 y a = - 4 . Por lo tanto, el sistema es compatible determinado cuándo a es diferente a 4 y -4 . En cambio,  el determinante de la matriz es cero y el rango de la matriz de coeficientes es inferior a 3.


b) ¿Para qué valores del parámetro el sistema es incompatible? 


El sistema no es compatible determinado para a = 4 y a = - 4
 
 Veremos que pasa para a = 4


 
La matriz de coeficientes del sistema es, 




y la matriz ampliada es 





Buscamos una matriz de orden 3 con determinante diferente de cero, 





Así el rango de la matriz ampliada es 3, diferente del rango de la matriz de coeficientes. Por lo tanto, el sistema es incompatible para a = 4

Si analizamos que sucede para a = - 4, entonces
La matriz de coeficientes del sistema es, 





y la matriz ampliada es 





Buscamos una matriz de orden 3 con determinante diferente de cero, 





Por lo tanto, el rango de la matriz ampliada es 3, y por los razonamientos anteriores, el sistema también es incompatible para a = - 4.




c) ¿ Para qué valores del parámetro el sistema es compatible indeterminado? 


c) Para ningún valor del parámetro el sistema es compatible indeterminado, como se deduce de los apartados anteriores.  

 
d) Resolvéis el sistema para a = 2:




Y por Gauss,






Hemos llegado a:







Por tanto x = y = z = 1

Por Cramer:











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