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lunes, 29 de abril de 2013

Cuestiones sobre el margen de error y el nivel de confianza



En esta entrada vamos a plantear un par de cuestiones tipo test.

Primero,  Antes de presentar en público un plan por la implantación del voto electrónico, el gobierno decide hacer una encuesta para conocer la posible aceptación de esta herramienta. Así, el funcionario encargado de la encuesta finalmente entrevista a 600 personas telefónicamente, de las cuales sólo 240 (un 40% pues) son favorables a la medida. Además de esta cifra, el funcionario tiene que informar a la ficha técnica de la encuesta de algunos aspectos, como por ejemplo que el nivel de confianza ha sido del 95%. Decidid qué de las siguientes alternativas es la correcta por el que respeta al margen de error del resultado de la encuesta: 

a) 3,92%
± El margen de error es igual a  
b) 0,16%
± El margen de error es igual a  
c) 24%
±El  margen de error es igual a  
d) 5,76%
± El margen de error es igual a  

Nos encontramos con una variable X de una población que en principio suponemos que se distribuye con un P de éxito desconocida. Para poder estimar este parámetro cogemos una muestra de medida, en este caso 600, y definimos una probabilidad de éxito p’ de forma que p’ = número de éxitos observados / medida de la muestra suponiendo que la distribución es aproximadamente normal puesto que cumple las condiciones de n = > 20 y np > =5 y n(1-p) > =  5 , la muestra es de 600 y 600 x 0,4 y 600 x 0,6 son mayores que 5, entonces la pueden definir cono una distribución X=  N(XP,SQR (np * ( 1 – p)) y que las muestras se han obtenido de forma aleatoria e independiente de una población que no ha cambiado durante el muestreo.

A partir de los supuestos anteriores se puede decir que el intervalo de confianza en un nivel de confianza (1- &) , en este caso del 95%, para la probabilidad de éxito poblacional viene dado:

p’+- Z & / 2 SQR (p’ ( 1 – p’) / n)  y de aquí podemos inferir que el error máximo de estimación es la mitad de la longitud de l ‘intervalo , es decir, E = Z & /2 SQR ( p’ * ( 1 – p’)/n )

Cono que en las mesas para Z 0,025 es 1,96 tenemos que E = 1,96 * SQR ( 0,4 * ( 1- 0,6) / 600 ;  E = 1,96 x 0,02 = 0,0392, por lo tanto , la afirmación correcta es la a.


Segundo, ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones es falsa:?

a) Cuando mayor es el nivel de confianza, mayor será el intervalo de confianza del parámetro de interés

Si el nivel de confianza, es decir, ( 1- & ) va siendo cada vez más grande, es decir, la probabilidad de que el parámetro estimado esté incluido, efectivamente, en el intervalo de confianza, es decir, el área de la curva normal incluida entre –z y z, mayor será el intervalo de confianza, esto es así puesto que si el nivel de confianza es 85% necesitamos encontrar el valor z de forma que el 85% del área bajo la distribución normal esté incluida entre –z y z, es decir, en las mesas Z 0,075 = 1,44 para indicar el valor normal estándar que corta el 7,5% de la cola superior y la inferior, en cambio para Z 0,5 = 1,96 que corresponde a un nivel de confianza del 95%, entonces los intervalos son más grandes y la probabilidad que el parámetro esté incluido puesto que el área es más grande.

b) Si queremos mantener el intervalo de confianza y bajar el margen de error, tenemos que aumentar la medida de la muestra

Si la desviación poblacional es fija, entonces pueden reducir el error estándar mediante el incremento de la medida muestral, esto hace reducir el margen de error puesto que es inversamente proporcional a la raíz de la medida muestral, y cuando este aumenta hacia  el infinito el error tiende a 0.

c) Podemos bajar el margen de error, bajando el nivel de confianza

Si rebajamos el nivel de confianza del 95% al 90%, el margen de error será más pequeño, puesto que z es más pequeño, el nivel de precisión aumenta, pero la probabilidad que el parámetro esté incluido entre el intervalo de confianza es más bajo. Así, si z pasa de 1,96 a 1,645 tenemos que el margen de error es más pequeño en el segundo, puesto que cómo he dicho antes z es más pequeño y el error estándar de la muestra permanece, por el cual, el margen será más pequeño.

d) El margen de error y el nivel de confianza son aspectos diferenciados y no relacionados

No es cierto, por tanto, esta es la falsa. De lo anterior se puede deducir que no es así, así si suponemos que a diferentes niveles de confianza los márgenes de error tienen que cambiar, en tanto y cuánto, las áreas bajo la curva de la distribución que corta las colas por la parte inferior y superior, es decir, el área comprendida entre los valores encontrados en las tablas de Z, o probabilidad que el parámetro de referencia esté incluido, por lo tanto el nivel de confianza determina que siendo mayor o menor tiene que influir en el aspecto que el margen de error sea mayor o menor puesto que se proporcional a los valor de Z por el error estándar y si el nivel de confianza varía tenemos que buscar la Z pertinente, por lo tanto, hay una relación bajo mi punto de vista.

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